암석강도와 변형

2.2.1 암석의 구성(Material constitution of rocks)

Definition of four classes of material

1) Homogeneity and continuity of materials

2) Material constituents and structure of rocks

3) Continuum mechanics and discontinuous rocks

2.2.2 역학적 상태(Mechanical states of the system)

Description of motions and forces in a rock body at a single moment in time.

▷ Quantities describing the instant mechanical state - position, velocity, forces

▷ Quantities comparing two or more states - displacement, strains, stress changes

▶ Reference frame and coordinate system

1) Positions

2) Configuration

3) Velocities

4) Forces

5) Mechanical homogeneity

2.2.3 역학적 상태의 변화

1) Displacements

2) Strains

3) Stress changes

2.2.4 힘과 응력

1) 표면력(Surface forces)

▶ Decomposition of force (surface traction)

암반내부의 하나의 평면상에 작용하는 힘에 대해 그 평면에 대한 직교 좌표계를 설정하면 다음 그림 2.22와 같다.

- 수직성분(Normal component, Nnn) : 미소4변형 또는 표면요소에 설정된 좌표계에 따라 면의 법선방향으로 작용하는 성분

- 전단성분(Shear component, Snr) : 표면요소에 접선방향으로 작용하는 성분으로 설정된 좌표계의 각 축에 평행한 성분으로 분해하면, Snl과 Snm의 두개의 성분으로 분해된다.

▶ 부호규약(Sign convention)

각 분력을 나타내는 2개의 첨자 중, 처음의 첨자는 분력이 작용하는 면의 법선 방향을 가리키고, 2번째의 첨자는 분력이 작용하는 방향이다. 이 때의 법선 방향과 분력의 방향이 모두 정(+) 또는 부(-)의 방향을 나타낼 때 그 분력은 정(+)의 값을 갖고, 각각 정(+), 부(-)의 방향으로 다를 경우 분력은 부(-)의 값을 갖는다.

2) 단위 표면력(Surface traction)

단위 표면력은 표면요소에 작용하는 힘의 강도로서 힘을 그 요소의 면적으로 나누어 구할 수 있다.

▶ 단위표면력 성분(component of surface traction)

수직응력(normal stress, σn) : σn = Nnn/A

전단응력(shear stress, τnl, τnm) : τnl = Snl/A, τnm = Snm/A

3) 1점에 대한 응력

암반 내부의 어느 1점의 응력상태의 기술을 위해서는 임의의 미소 6면체 요소에 대한 응력을 기술하여야 한다(그림 2.23 참조).

▶ 텐서(tensor)해석 : 텐서는 스칼라와 벡터를 일반화한 것으로 차수(order 또는 rank)가 0인 텐서는 스칼라, 차수가 1인 텐서는 벡터이다. 삼차원 공간에서 스칼라는 한 개의 성분(30)을 가지고 있으며, 벡터는 세 개의 성분(31)을 갖는다. 2차 텐서는 9개의 성분(92)을 가지며, 일반적으로 n-차 텐서는 3n개의 성분을 갖는다. 응력의 경우 작용면이 결정되어야 정의 가능한 3×3의 응력행렬로 표현된다.

▶ 평형조건 : 나머지 3면에 작용하는 응력성분은 각각 크기가 같고, 방향이 반대로 병진(translation)에 대한 평형조건을 만족하고, 회전(rotation)에 대한 평형조건을 만족하기 위해서는 각 공액전단응력(conjugate shear stress)이 동일한 값을 갖는다. 따라서 3차원 요소에 대한 응력상태를 완전하게 표현하기 위해서는 6개의 응력성분 만이 필요하다.

4) 주응력면

주축(Principal axes of stress) : 전단응력성분이 모두 0이 되는 좌표축

주응력면(principal planes) : 주축을 기준으로 하는 전단응력성분이 0이 되는 면

주응력(principal stress) : 주응력면에 작용하는 수직응력으로 정(+)의 경우는 압축력을 부(-)의 경우는 인장력을 나타내며, 응력의 크기에 따라 최대주응력 (σ1), 중간주응력(σ2), 최소주응력(σ3)으로 표시한다.

※ 주응력면은 전단응력 성분이 없는, 즉 수직응력만을 갖는 어떤 특정한 면으로 전단성분이 없기 때문에 주응력의 크기는 수직응력의 크기와 동일하며 주응력면에 수직한 직선을 주응력 축의 방향(주축)으로 정의된다.

5) 응력변환(좌표변환)

▶ 2차원 응력변환 : z축에 수직한 단면에 작용하는 응력에 대한 변환

▶ 3차원 응력변환

절리 등의 암체내의 불연속면 또는 구조에 대한 응력의 계산과 같은 경우, 계산 및 이해의 편의를 위해 구조면의 방향에 대한 좌표계의 설정이 요구된다. 즉, 기준(또는 전체) 좌표계에 대한 응력성분을 알고 있을 경우, 필요에 따라 기준 좌표계에 대해 경사진 국부 좌표계를 선택하는 것이 편리할 경우가 있다.

응력상태의 결정에 있어 기준 좌표계는 임의적으로 설정할 수 있다. 즉 주어진 문제에 따라 좌표계를 설정함으로써 문제를 더욱 쉽게 해결할 수 있는 것이다. 다음 그림에서와 같이 직교좌표계(X,Y,Z)에 대해 회전된 새로운 직교좌표계(L,M,N)을 설정하면 새로운 좌표계의 임의의 축(N축)은 cos a, cos b, cos c의 방향 코사인으로 나타낼 수 있다. 이를 각각 Nx, Ny, Nz와 같이 나타내면 <그림2.25>과 같다.

2차원 벡터의 회전행렬에서와 마찬가지로 3차원에서의 임의의 벡터 P는 적절한 회전행렬을 이용하면 새로운 좌표계에서 다음과 같이 표현 가능하다.

이에 따라 3차원 좌표변환식은 수직 및 전단응력에 대해 각각 3개씩 주어진다.

① K : 임의면에 작용하는 수직응력 (OF=σx), 전단응력(FK=τxz)

② C : OC=(σx+σz)/2인 점을 중심으로 K를 지나는 Mohr원을 작도

③ P : 임의면에 작용하는 수직 및 전단응력을 나타내는 점 K를 지나고, 그면에 평행한 직선을 그어 Mohr원과 만나는 교점 P를 구한다. 이 점이 면의 원점(Origin of planes)로 현재 응력상태에서 나타낼 수 있는 모든 임의의 면을 이 점을 지나는 직선으로 나타내면 Mohr원과의 교점이 그 면에 대한 응력상태를 나타낸다.

※ 임의의 응력이 작용하는 면(KP)과 α만큼 기울어진 면(HP)에서의 응력상태를 알기 위해서는 Mohr circle의 원점과 원주상의 임의의 응력상태를 연결하는 CK를 2α만큼 회전시켜(CH) 원주상의 응력값(H)을 읽는다.

▷ 임의의 l, m축에 평행인 면상의 응력

점 P를 지나고 m축과 l축에 평행한 직선을 그어 Mohr원과의 교점 G, H를 얻는다. 이 때의 각 응력상태(σl,τlm) 및 (σm,τml)는 각각 m축 및 l축에 평행한 면에 작용하는 응력을 나타낸다.

▷ 주응력의 크기와 주응력면의 방향

주응력은 전단 응력요소가 없는 주응력면에서의 수직응력으로 정의되므로 그림의 Mohr원에서 전단응력이 0인 점은 각각 점 A와 B로 정의된다. 면의 원점(P)에서 이 두점을 연결하는 직선을 그리면 이 면이 각각 최대 및 최소 주응력면의 방향이 된고 이 때의 최대 및 최소 주응력의 크기는 각각 σ1, σ3이 된다.

 

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