암석의 파괴이론 (Theories of failure)

1 암석의 파괴

암석의 파괴(failure)는 응력의 작용하에서 암석이 두 개 이상의 부분으로 분리되는 현상 또는 보다 넓은 의미로 암석이나 암반이 주어진 하중을 지탱할 수 있는 능력에 영구적인 손상을 받은 상태라고 정의할 수 있다.

실험결과에 의하면 균열의 발생 또는 과도한 변형에 의한 암석의 파괴는 암석의 역학적 상태, 즉 시료의 응력상태, 시간, 온도 등의 요소들에 영향을 받는 것으로 나타났다. 따라서 설계 또는 암반구조의 평가와 같은 대부분의 역학적 문제들을 해결하는 데 있어 이론 또는 실험결과에 따른 적절한 파괴이론을 수립하고, 이를 합리적으로 적용하는 것이 중요하다.

금속이나 플라스틱과 같은 연성물질에 대해서는 이미 유용한 파괴이론이 수립되었으나, 암석과 같은 복잡한 다결정질(polycrystaline) 물질에 대한 파괴이론은 대상 암석에 대한 다양한 실험에 근거한 이론이 제안되어 사용되고 있다.

1) 개념 및 정의

파괴이론 및 강도의 정의를 위해 파단, 파괴, 강도, 항복, 돌파 등의 다양한 용어 또는 개념을 명확히 구분하여 사용할 필요가 있다.

▷ 파괴(failure) : 어느 구조가 규정된 기능으로 설계되었을 때, 그 기능을 수행할 능력을 상실하는 것으로 하중-전달능력을 말하는 것이 아니고, 어느 규정된 기능을 일컫는 것이다.

▷ 파단(rupture) : 암석이 그 강도 한계를 넘어섰을 때 발생하는 깨짐이나 파쇄를 지시한다. 터널 굴착시 천단이나 벽면의 암석에서 파단된 영역이 발생하여 확장된다 하더라도 여러 공동들은 주변의 암반이나 지보 시스템에 의해 하중의 일부를 전달받고 있기 때문에 여전히 안정할 수 있다.

▷ 강도(strength) : 암석시료나 암반이 파단될 때의 응력상태

▷ 항복(yield) : 암석의 탄성거동을 나타낼 수 있는 한계. 즉, 전달되던 하중이 제거된 후에도 원래의 모양대로 되돌아 갈 수 없는 상태의 응력상태.

▷ 파괴기준(failure criterion) : 고체물질이 파괴면의 형성(fracturing) 또는 어떤 특정 한도를 넘어선 변형에 의한 파괴(fail)를 일으키는 역학적인 상태로 응력, 변형율, 응력 및 변형율의 변화율 또는 이러한 각 요소들의 적절한 조합으로서 표현된다.

▷ 파괴포락선(failure envelope)

▷ 한계상태(critical state) : 변형율 강화(strain hardening) 특성의 암석시료가 지속적인 균질 변형에 의한 체적의 변화없는 큰 뒤틀림(distorton)을 일으키게 되는 소성파괴(plastic yield)의 한계상태를 임계 또는 한계상태(critical state)라 한다.

2) 파괴조건식

현재 사용되고 있는 암석 파괴조건식은 대부분 경험적 접근방법에 의한 것으로 다양한 암석시료에 대한 실험결과에 근거하여 응력과 변형의 관계를 수식화한 것이다. 이러한 파괴이론에는 최대전단응력설, 내부마찰각설, 응력포락선설, Griffith 이론, 전단변형에너지설, Hoek-Brown 이론 등이 있다.

▷ 중간주응력 : 최대전단응력설, 내부마찰각설, 응력포락선설, Griffith 이론 및 수정이론, Hoek-Brown 이론 등에서는 재료의 파괴에 대한 중간주응력의 영향을 무시하거나 작은 것으로 생각하여 중간주응력을 무시한 단순화된 파괴기준을 유도하였다. 반면에 전단변형 에너지설과 Drucker 이론에서는 중간주응력을 고려하고 있다. 이중 전단변형 에너지설은 재료가 하중을 받아 소성변형을 일으킬 때 체적변화는 일어나지 않는다는 가정에 근거하고 있으나, 실제 암석은 소성변형이 일어날 때 일반적으로 체적변화와 형태변화가 일어나고 있다.

▷ 시료의 상태 : 최대전단응력설, 내부마찰각설, 응력포락선설은 무결암 또는 균질 재료를 대상으로 한 파괴이론이다. 이에 반해 Griffith 이론 및 그 수정이론은 재료 내에 내재하는 결함, 즉 미소균열을 고려하여 그 주위에 유기되는 응력집중에 대한 해석으로부터 출발한 파괴론이며, Hoek-Brown 이론은 재표내에 발달된 절리 등의 불연속면을 고려하고 암반분류와 연관하여 실험식으로 파괴기준식을 유도하였다.

▷ 적용성 : 이외에도 주로 실험적 관찰로부터 매개변수를 고려하고 단축압축강도 및 최대, 최소 주응력을 근간으로하여 유도된 경험적 파괴이론식들은 최대전단응력설, 내부마찰각설, 응력포락선설, Hoek-Brown 이론 등과 함께 지하공간설계에서 많이 이용되고 있다. Mohr-Coulomb 파괴조건식은 내부마찰각설과 응력포락선설의 결합이론으로 많은 설계자들이 선호하고 있고, Hoek-Brown 이론은 암반공학적 분류법인 RMR과 Q 시스템과 연관하여 그 효용성이 증대하고 있다.

 

2 최대전단응력설, Tresca Theory

Tresca(1868)는 금속의 소성변형에서 최대전단응력(τmax)이 일정한 값(K, 전단강도)에 도달하면 항복이 일어난다고 하였다.

▷ 최대주응력 vs. 최대전단응력

다음 그림에서와 같이 최대 전단응력이 가해지는 면은 최대 주응력이 가해지는 면에 대해 45°각도를 이룬다는 것을 쉽게 알 수 있다.

이 이론에서는 압축강도와 인장강도를 같게 놓고, 중간주응력이 파괴에 영향을 미치지 않는 것으로 해석하였다. 그러나 실제 암석과 같은 취성재료에서는 파괴면이 최대 주응력에 대해 보통 45°보다 작은 각을 이루며, 일축인장의 경우, 최대 주응력에 대해 약 90°의 면에서 파괴가 일어난다. 또한 압축강도가 인장강도보다 약 10～20배 정도 크게 나타나므로, 최대 전단응력설의 직접적인 적용에는 문제가 있다.

 

3 내부마찰각설, Coulomb-Navier Theory of Failure

이 파괴론은 Coulomb(1773)이 제안한 최대전단응력설(Maximum shear stress theory)를 후에 Coulomb-Navier 이론으로 발전시킨 것으로 암석, 토양의 압축시험 결과로부터 파괴면에 작용하는 수직응력성분이 물질의 전단저항력을 증가시킨다는 가정 하에 파괴면에 작용하는 전단응력 τθ와 수직응력 σθ 사이에 다음과 같은 식이 성립할 때 파괴가 일어난다고 하였다.

이 이론에 의하면 압축강도가 인장강도에 비해 크다는 점을 알수 있으나 실제로는 인장강도가 과대평가되는 경향이 있다. 또한, 내부마찰계수(μ)가 상수로서 압축 또는 인장파괴시의 파괴면의 경사가 동일하게 나타난다. 그러나 실제로는 인장파괴시험시의 파괴면은 인장방향과 일반적으로 직각으로 나타나 인장파괴에의 적용에는 적합치않다.

2.3.2 응력포락선설, Mohr's Theory of Failure(1900)

Mohr의 파괴이론은 “임의의 면(파괴면)상의 전단응력(τθ)이 그 면상에 수직응력(σθ)에 의해 결정되는 어떤 한계에 도달하면 또는 최대 인장 주응력이 한계값(인장강도, T0)에 도달하면 영구변형 또는 균열발생이 일어난다”는 가정하에 수립되었다. 따라서 다음의 조건을 만족할 때 파괴가 발생한다.

전술한 바와 같이 이 이론은 파괴시의 응력상태 뿐만 아니라 파괴면의 방향을 예측할 수 있다. 암석의 파괴조건을 나타내는 파괴포락선은 여러 가지 응력상태(단축압축시험, 단축인장시험, 삼축압축시험 등)에서의 파괴응력들을 실험적으로 얻은 결과로부터 최소자승법에 의한 근사해로 구해진다. 이와 같이 구해진 포락선은 일반적으로 직선도 아니고 포물선도 아니다.

다음 그림 2.33은 3축 압축상태의 일련의 암석시료에 대한 Mohr 응력원과 파괴포락선을 나타낸다.

그러나 다음 그림 2.33에서와 같이 파괴포락선이 인장응력의 영역으로 연장되면 실제 일축인장강도(T0) 보다 더 큰 절대값의 범위에서 수직응력축과 만나게 되어 인장강로를 과장되게 나타내게 된다. 또한 인장파괴에서의 파괴면도 실제로는 최대 주응력에 대해 거의 90°의 방향에서 발생하므로 인장영역에서는 암석에 대한 Mohr의 파괴이론의 적용이 불합리하며, 오히려 최대응력설의 적용이 타당한 것으로 여겨진다.

※ Mohr-Coulomb Failure Creteria

Mohr(1900)은 파괴면에서의 수직 및 전단응력의 조합으로 물질의 파괴에 대한 이론을 제시하였다. 이 이론에 의한 파괴포락선은 전술한 바와 같이 다음과 같은 함수관계로 표현되며, 일반적으로 곡선의 형태로 나타난다.

Mohr-Coulomb의 파괴기준에 의한 전단파괴는 암석시료 내부의 임의의 면에서의 전단응력이 파괴기준을 만족할 때 발생하게 된다. 주 응력축에 대한 파괴면의 경사를 결정하기 위해서 다음의 그림 2.36을 참조하면,