암석에서 받는 힘과 응력(표면력, 단위 표면력, 1점에 대한 응력, 주응력면, 응력변환, Mohr circle of stress)에 관하여

1) 표면력(Surface forces)

▶ 부호규약(Sign convention)

각 분력을 나타내는 2개의 첨자 중, 처음의 첨자는 분력이 작용하는 면의 법선 방향을 가리키고, 2번째의 첨자는 분력이 작용하는 방향이다. 이 때의 법선 방향과 분력의 방향이 모두 정(+) 또는 부(-)의 방향을 나타낼 때 그 분력은 정(+)의 값을 갖고, 각각 정(+), 부(-)의 방향으로 다를 경우 분력은 부(-)의 값을 갖는다.

2) 단위 표면력(Surface traction)

단위 표면력은 표면요소에 작용하는 힘의 강도로서 힘을 그 요소의 면적으로 나누어 구할 수 있다.

▶ 단위표면력 성분(component of surface traction)

3) 1점에 대한 응력

암반 내부의 어느 1점의 응력상태의 기술을 위해서는 임의의 미소 6면체 요소에 대한 응력을 기술하여야 한다(그림 2.23 참조).

▶ 텐서(tensor)해석 : 텐서는 스칼라와 벡터를 일반화한 것으로 차수(order 또는 rank)가 0인 텐서는 스칼라, 차수가 1인 텐서는 벡터이다. 삼차원 공간에서 스칼라는 한 개의 성분(30)을 가지고 있으며, 벡터는 세 개의 성분(31)을 갖는다. 2차 텐서는 9개의 성분(92)을 가지며, 일반적으로 n-차 텐서는 3n개의 성분을 갖는다. 응력의 경우 작용면이 결정되어야 정의 가능한 3×3의 응력행렬로 표현된다.

▶ 평형조건 : 나머지 3면에 작용하는 응력성분은 각각 크기가 같고, 방향이 반대로 병진(translation)에 대한 평형조건을 만족하고, 회전(rotation)에 대한 평형조건을 만족하기 위해서는 각 공액전단응력(conjugate shear stress)이 동일한 값을 갖는다. 따라서 3차원 요소에 대한 응력상태를 완전하게 표현하기 위해서는 6개의 응력성분 만이 필요하다.

4) 주응력면

주축(Principal axes of stress) : 전단응력성분이 모두 0이 되는 좌표축

주응력면(principal planes) : 주축을 기준으로 하는 전단응력성분이 0이 되는 면

주응력(principal stress) : 주응력면에 작용하는 수직응력으로 정(+)의 경우는 압축력을 부(-)의 경우는 인장력을 나타내며, 응력의 크기에 따라 최대주응력 (σ1), 중간주응력(σ2), 최소주응력(σ3)으로 표시한다.

※ 주응력면은 전단응력 성분이 없는, 즉 수직응력만을 갖는 어떤 특정한 면으로 전단성분이 없기 때문에 주응력의 크기는 수직응력의 크기와 동일하며 주응력면에 수직한 직선을 주응력 축의 방향(주축)으로 정의된다.

5) 응력변환(좌표변환)

▶ 2차원 응력변환 : z축에 수직한 단면에 작용하는 응력에 대한 변환

① K : 임의면에 작용하는 수직응력 (OF=σx), 전단응력(FK=τxz)

② C : OC=(σx+σz)/2인 점을 중심으로 K를 지나는 Mohr원을 작도

③ P : 임의면에 작용하는 수직 및 전단응력을 나타내는 점 K를 지나고, 그면에 평행한 직선을 그어 Mohr원과 만나는 교점 P를 구한다. 이 점이 면의 원점(Origin of planes)로 현재 응력상태에서 나타낼 수 있는 모든 임의의 면을 이 점을 지나는 직선으로 나타내면 Mohr원과의 교점이 그 면에 대한 응력상태를 나타낸다.

※ 임의의 응력이 작용하는 면(KP)과 α만큼 기울어진 면(HP)에서의 응력상태를 알기 위해서는 Mohr circle의 원점과 원주상의 임의의 응력상태를 연결하는 CK를 2α만큼 회전시켜(CH) 원주상의 응력값(H)을 읽는다.

▷ 임의의 l, m축에 평행인 면상의 응력

점 P를 지나고 m축과 l축에 평행한 직선을 그어 Mohr원과의 교점 G, H를 얻는다. 이 때의 각 응력상태(σl,τlm) 및 (σm,τml)는 각각 m축 및 l축에 평행한 면에 작용하는 응력을 나타낸다.

▷ 주응력의 크기와 주응력면의 방향

주응력은 전단 응력요소가 없는 주응력면에서의 수직응력으로 정의되므로 그림의 Mohr원에서 전단응력이 0인 점은 각각 점 A와 B로 정의된다. 면의 원점(P)에서 이 두점을 연결하는 직선을 그리면 이 면이 각각 최대 및 최소 주응력면의 방향이 된고 이 때의 최대 및 최소 주응력의 크기는 각각 σ1, σ3이 된다.

 

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